Perkalian

Perhatikan Gambar susunan 6 buah apel (a). Diketahui terdapat tiga susun buah apel yang masing-masing susunnya terdiri atas dua apel yang saling sejajar. Perhatikan pula susunan 6 buah apel (b). Diketahui terdapat dua susun buah apel yang masingmasing susunnya terdiri atas tiga apel yang saling sejajar. Banyaknya buah apel pada susunan 6 buah apel (a) dan (b) masing-masing berjumlah (3 × 2) dan (2 × 3) buah.

Susunan 6 buah apel.
(a) susunan 3 × 2 buah apel
(b) susunan 2 × 3 buah apel

3 × 2 dan 2 × 3 merupakan salah satu bentuk operasi bilangan bulat yang disebut perkalian. Pada dasarnya, operasi perkalian bilangan bulat dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan berulang.

Perhatikan contoh berikut.
3 × 2 = 2 + 2 + 2
2 × 3 = 3 + 3
5 × (–8) = (–8) + (–8) + (–8) + (–8) + (–8)

Sifat-Sifat Perkalian Bilangan Bulat
Untuk mengetahui sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat, amati dan lengkapilah isian berikut.

1) Sifat komutatif
Apakah sifat komutatif berlaku pula pada perkalian bilangan bulat? Mari kita selidiki dengan menyalin dan melengkapi tabel di bawah ini.

Amatilah, ternyata bilangan pada kolom a × b sama dengan bilangan pada kolom ….

Jadi, dapat disimpulkan hal berikut.

Jika a dan b adalah bilangan bulat maka
a × b = … × …

2) Sifat asosiatif
Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat asosiatif pada perkalian membolehkan kita untuk mengelompokkan bilangan-bilangan yang akan diselesaikan lebih dahulu.

Untuk menyelidiki apakah sifat asosiatif berlaku perkalian bilangan bulat, salin dan lengkapilah tabel berikut ini.

Amatilah, ternyata bilangan pada kolom (a × b) × c sama dengan bilangan pada kolom ....

Jadi, dapat disimpulkan hal berikut.

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat maka
(a × b) × c = … × (… × …)

3) Sifat distributif
Sifat distributif disebut juga sifat penyebaran. Perhatikan Gambar dibawah ini. Pada gambar tersebut banyaknya buah apel (6 × 2) dapat diuraikan menjadi (4 × 2) buah apel dan (2 × 2) buah apel.

Susunan (6 × 2) buah apel yang dibagi menjadi (4 × 2) dan (2 × 2) buah apel

Bentuk operasi ini disebut operasi distributif perkalian terhadap penjumlahan. Dari Gambar diatas dapat ditulis:

(4 + 2) × 2 = (4 × 2) + (2 × 2) atau 2 × (4 + 2) = (2 × 4) + (2 × 2)

Untuk lebih memahami sifat perkalian di atas, salin dan lengkapilah tabel berikut.

Amatilah, bilangan pada kolom a × (b + c) sama dengan bilangan pada kolom ....

Jadi, dapat simpulkan hal berikut.

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat maka
a × (b + c) = (… × …) + (… × …)

Dengan menggunakan cara yang sama seperti sebelumnya, coba kamu buktikan bahwa sifat distributif perkalian juga berlaku terhadap operasi pengurangan. Jika kamu teliti nanti akan dapat kamu buktikan bahwa untuk a, b, dan c adalah bilangan bulat maka berlaku sifat berikut.

Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat maka
a × (b – c) = (a × b) – (a × c)

Sifat ini disbut sifat distributif perkalian terhadap pengurangan. Sifat distributif sering digunakan untuk mempermudah perhitungan seperti pada contoh berikut.

Contoh Soal:

1. Hitunglah operasi berikut ini.
23 × 17 + 23 × 83

Penyelesaian:
Bilangan yang sama ditulis di luar tanda kurung.

2. Hitunglah operasi berikut ini.
29 × 21 – 29 × 11

Penyelesaian:

4) Sifat identitas
Seperti halnya dengan operasi penjumlahan, pada operasi perkalian terdapat suatu bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan tertentu akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Dapatkah kalian mencari bilangan tersebut? Perhatikan contoh perkalian berikut ini.

5 × 1 = 5      0 × 1 = 0      –6 × 1 = –6

Dari ketiga contoh perkalian tersebut, ternyata jika suatu bilangan dikalikan dengan bilangan 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Dengan demikian, bilangan 1 adalah bilangan identitas atau unsur identitas dari operasi perkalian.

5) Sifat tertutup
Perhatikan operasi perkalian berikut.

2 × 3 = 6     –2 × 4 = –8     3 × –4 = –12

Bilangan-bilangan 2, 3, 4, –2, dan –4 pada operasi perkalian di atas merupakan bilangan bulat. Bilangan 6, –8, dan –12 merupakan hasil dari perkalian bilangan di atas.

Apakah bilangan-bilangan tersebut juga merupakan bilangan bulat? Tentu saja bilangan-bilangan 6, –8, dan –12 juga merupakan bilangan bulat. Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa hasil kali bilangan-bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga.

6) Sifat tanda pada perkalian
Dalam operasi perkalian bilangan bulat tanda di depan bilangan yang dikalikan perlu diperhatikan. Perhatikan contoh berikut ini.

12 × 12 = 144
12 × (–12) = –144
–12 × 12 = –144
–12 × (–12) = 144

Perhatikan pola perkalian di atas. Apa yang dapat kamu simpulkan? Dari uraian di atas, dapat disimpulkan hal berikut.

Bilangan bulat positif × bilangan bulat positif = bilangan bulat …
Bilangan bulat positif × bilangan bulat negatif = bilangan bulat …
Bilangan bulat negatif × bilangan bulat positif = bilangan bulat …
Bilangan bulat negatif × bilangan bulat negatif = bilangan bulat …

Contoh Soal:

Dengan menggunakan sifat-sifat operasi perkalian bilangan bulat, hitunglah perkalian-perkalian berikut ini.
a. 23 × 15 × 4 = ....
b. 24 × 15 + 24 × 85 = ....
c. 15 × 24 + 15 × 34 – 15 × 28 = ....
d. –6 × (–10) × (–6) × 25 = ....

Penyelesaian:
a. 23 × 15 × 4 = 23 × (15 × 4)
= 23 × 60
= 1.380

b. 24 × 15 + 24 × 85 = 24 × (15 + 85)
= 24 × 100
= 2.400

c. 15 × 24 + 15 × 34 – 15 × 28
= 15 × (24 + 34 – 28)
= 15 × (58 – 28) = 15 × 30 = 450

d. –6 × (–10) × (–6) × 25
= [–6 × (–10)] × [(–6) × 25]
= 60 × (–150)
= –9.000