Operasi pada Pecahan

Seperti halnya bilangan bulat, pada pecahan juga dapat dilakukan operasi perhitungan seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Bagaimana operasi tersebut dilakukan pada pecahan? Perhatikan penjelasan berikut.

a. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan
Perhatikan Gambar dibawah ini. Perhatikan daerah yang diarsir pada lingkaran-lingkaran tersebut. Pada Gambar tampak bahwa 2/6 dari keseluruhan lingkaran ditambah dengan 3/6 bagian dari keseluruhan lingkaran menghasilkan 5/6 dari keseluruhan lingkaran (perhatikan daerah yang diarsir).

Penjumlahan dua pecahan

Secara matematis kita dapat menulisnya dengan bentuk 2/6 + 3/6 = 5/6 . Bentuk umum operasi penjumlahan pecahan adalah sebagai berikut.

Sama halnya dengan penjumlahan pecahan, pada Gambar dibawah ini diperlihatkan bahwa 4/5 dari keseluruhan persegi panjang dikurangkan dengan 3/5 dari keseluruhan persegi panjang menghasilkan 1/5 bagian dari keseluruhan persegi panjang. Secara matematis kita dapat menulisnya dalam bentuk 4/5 – 3/5 = 1/5.

Pengurangan dua bilangan pecahan dengan penyebut sama

Bentuk umum operasi pengurangan pecahan adalah sebagai berikut.

Bagaimana jika pada operasi penjumlahan dan pengurangan penyebut dari pecahannya tidak sama? Misalnya kita akan menjumlahkan 1/2 + 1/4. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menyamakan penyebutnya menjadi sama terlebih dahulu, yaitu dengan mencari KPK dari kedua penyebut.

Perhatikan Gambar berikut ini.

Penjumlahan dua pecahan dengan penyebut berbeda

Dari Gambar tampak bahwa:

Bentuk umum operasi penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda sebagai berikut.

Contoh Soal:

1. Hitunglah hasilnya.
a. 5/9 + 5/6

b. 5/8 - 1/5

Penyelesaian:

2. Hitunglah hasilnya.

Penyelesaian:

b. Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Pecahan
Untuk mengetahui sifat-sifat penjumlahan bilangan pecahan, lakukanlah kegiatan berikut.

Dari hasil tabel di atas dapat disimpulkan hal berikut. Jika a, b, dan c adalah bilangan pecahan maka:

Berdasarkan hasil kegiatan ini dapat disimpulkan bahwa pada penjumlahan bilangan pecahan berlaku sifat-sifat sebagai berikut.
a. sifat …
b. sifat …

c. Perkalian Pecahan

1) Perkalian pecahan dengan bilangan bulat
Jika kita mengalikan 4 dan 3, itu sama artinya dengan menjumlahkan bilangan 3 sebanyak 4 kali.

4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

Selanjutnya perhatikan contoh berikut.

atau

Penjumlahan tiga buah 3/4-an

Perhatikan Gambar diatas (Penjumlahan tiga buah 3/4-an) dan gambar dibawah ini (Bentuk lain dari penjumlahan tiga buah 3/4-an yang senilai). Dari gambar di atas dinyatakan dalam bentuk matematis sebagai berikut.

Dari penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa bentuk umum perkalian bilangan bulat dan pecahan dinyatakan sebagai berikut.

Bentuk lain dari penjumlahan tiga buah 3/4-an yang senilai

2) Perkalian pecahan dengan pecahan
Perhatikan Gambar dibawah ini. Diketahui sebuah persegi yang sisinya 1 satuan dibagi menjadi 6 bagian yang sama. Luas daerah yang diarsir adalah 1/6 dari luas daerah seluruh persegi. 

Perkalian 1/2 dan 1/3

Secara matematis dinyatakan sebagai berikut.

Bentuk umum perkalian pecahan dengan pecahan dinyatakan sebagai berikut.

d. Sifat-Sifat Perkalian Bilangan Pecahan
Untuk mengetahui sifat-sifat perkalian bilangan pecahan lakukan kegiatan berikut.

Dari hasil tabel di atas dapat disimpulkan hal berikut. Jika a, b, dan c adalah bilangan pecahan maka:

Berdasarkan hasil kegiatan ini dapat disimpulkan bahwa pada perkalian bilangan pecahan berlaku sifatsifat sebagai berikut.
a. sifat …
b. sifat …
c. sifat …

e. Pembagian Pecahan
Pembagian adalah operasi invers (kebalikan) dari perkalian. Jika kita membagi a dengan b sama artinya kita mengalikan a dengan 1/b . Ini berarti 1/b adalah invers perkalian dari b.

Contoh:
3 : 2 sama artinya dengan 3 × 1/2 dan 4 : 2/3 sama artinya dengan 4 × 3/2. Bentuk umum operasi pembagian pecahan dinyatakan sebagai berikut.

1) Pembagian pecahan dengan bilangan bulat
Misalkan terdapat sebuah kue yang dibagi empat sama besar. Salah satu bagian diberikan kepada Rudi. Oleh Rudi kue bagiannya dibagi lagi menjadi dua sama besar karena ia berbagi kue tersebut dengan adiknya. Kue bagian Rudi sekarang adalah sebesar:

Rudi mendapatkan kue bagiannya sebesar 1/8 kali dari kue mula-mula. Bentuk umum pembagian pecahan dengan bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut.

Pembagian 1/4 dengan 2

2) Pembagian pecahan dengan pecahan
Untuk pembagian pecahan dengan pecahan kita gunakan aturan invers perkalian.

Contoh:

Bentuk umum pembagian pecahan dengan pecahan dinyatakan sebagai berikut.