Penjumlahan

Sewaktu di Sekolah Dasar kalian tentu telah mengenal operasi penjumlahan pada bilangan bulat, bukan? Untuk menyelesaikan operasi penjumlahan bilangan bulat dapat menggunakan mistar sederhana dan garis bilangan. Mistar yang digunakan memuat himpunan bilangan bulat. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Contoh Soal

Hitunglah –4 + 3 dengan menggunakan:
a. mistar sederhana;
b. garis bilangan.

Penyelesaian:
a. Menggunakan mistar sederhana

Langkah penyelesaiannya yaitu letakkan titik 0 pada mistar pertama tepat di atas angka –4 pada mistar kedua. Selanjutnya, lihat bilangan di bawah angka 3 pada mistar pertama sehingga pada mistar kedua diperoleh angka –1 sebagai hasilnya. Jadi, –4 + 3 = –1.

b. Menggunakan garis bilangan

Langkah penyelesaiannya yaitu sebagai berikut:
• dari titik nol melangkah ke kiri 4 satuan (karena negatif);
• kemudian dari titik –4 melangkah kekanan 3 satuan (karena positif).

Hasilnya adalah dari titik nol melangkah ke kiri 1 satuan atau sama dengan –1.
Jadi, –4 + 3 = –1.

Sebagai bahan latihan coba peragakan, bagaimana cara menyelesaikan penjumlahan –2 + (–7) menggunakan mistar sederhana? Jelaskan!

Jika kalian telah memahami konsep penjumlahan dengan garis bilangan, maka kalian dapat pula menentukan penjumlahan dua bilangan bulat dengan menggunakan pola tertentu seperti berikut ini.

1. 3 + (–4) = –4 + 3 = –(4 – 3)
                                = –1

 a + (–b) = –b + a = –(b – a)

2. 5 + 10 = 10 + 5 = 15

a + b = b + a

3. –7 + (–3) = –(7 + 3)
                   = –10

–a + (–b) = –(a + b)

Apakah kalian dapat menemukan cara lain yang lebih mudah dan cepat selain cara-cara di atas?

Selain bentuk penjumlahan di atas, operasi penjumlahan bilangan bulat juga dapat dilakukan dengan cara menyusun ke bawah seperti berikut ini.

Proses penjumlahan bilangan bulat dengan cara menyusun ke bawah lebih sering dipakai jika bilanganbilangan yang dijumlahkan cukup banyak.

Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Pada operasi penjumlahan bilangan bulat berlaku sifat-sifat yaitu komutatif, asosiatif, bilangan identitas, dan tertutup.

1) Sifat Komutatif
Salin dan isilah operasi penjumlahan berikut ini.

Buatlah kesimpulan dari hasil penjumlahan di atas. Bandingkanlah kesimpulanmu dengan teman yang lain. Kemudian, bandingkan pula dengan kesimpulan berikut.

Hasil penjumlahan bilangan bulat selalu sama walaupun letak bilangan ditukar. Sifat penjumlahan seperti ini disebut sifat komutatif dan ditulis:

a + b = b + a

2) Sifat Asosiatif
Coba kalian salin dan isi titik-titik pada operasi penjumlahan berikut dalam bukumu.

(33 + 37) + 7 = … + 7                       = … 

dan 

33 + (37 + 7) = 33 + …

                       = …

Berdasarkan hasil penjumlahan di atas, apakah (33 + 37) + 7 memiliki hasil yang sama dengan 33 + (37 + 7)? 

Setelah menjawab pertanyaan tadi, apa yang dapat kalian simpulkan mengenai kedua bentuk penjumlahan bilangan bulat tersebut? Diskusikan bersama temanmu dan bandingkan dengan kesimpulan berikut ini.

Pada operasi penjumlahan bilangan bulat, bilangan-bilangan tersebut dapat dikelompokkan dan ditulis dalam bentuk:

(a + b) + c = a + (b + c)

3) Bilangan identitas
Perhatikan penjumlahan bilangan bulat berikut.

3 + 0 = 3
–4 + 0 = –4
0 + (–5) = –5

Dari operasi penjumlahan di atas terlihat bahwa jika suatu bilangan bulat dijumlahkan dengan nol (0) selalu menghasilkan bilangan itu sendiri. Dalam matematika bilangan nol (0) disebut unsur identitas.

Penjumlahan bilangan bulat dengan unsur identitas ditulis:

a + 0 = 0 + a

4) Sifat tertutup
Perhatikan penjumlahan bilangan bulat berikut.

3 + 5 = 8     –2 + 6 = 4      –7 + 5 = –2

Bilangan-bilangan 3, 5, –2, 6, –7, dan 5 merupakan bilangan bulat. Bilangan-bilangan 8, 4, dan –2 merupakan hasil dari penjumlahan bilangan bulat. Apakah 8, 4, dan –2 juga merupakan bilangan bulat? Ya, bilangan 8, 4, dan –2 juga merupakan bilangan bulat. Dengan demikian dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.

Penjumlahan bilangan bulat akan selalu menghasilkan bilangan bulat juga atau dapat ditulis jika a dan b ∈ B, maka a + b ∈ B. Sifat tertutup penjumlahan bilangan bulat: a + b = c; dengan a, b, dan c ∈ B.