KPK dan FPB

Pada postingan plengdut.com kali ini kita akan membahas mengenai cara mencari dan menghitung KPK dan FPB dari bilangan bulat. Sebelum mulai melanjutkan pembahasan materi KPK dan FPB ini, ada baiknya kita mengerti dulu apa itu arti dari KPK dan FPB dalam pustaka matematika.

KPK adalah singkatan dari kata "kelipatan persekutuan terkecil" sedangkan FPB adalah singkatan dari kata "faktor persekutuan terbesar".

Atau KPK dapat dijabarkan sebagai kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan yaitu bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi habis oleh kedua bilangan tersebut. Sedangkan FPB atau faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan yaitu bilagan bulat positif terbesar yang dapat membagi habis kedua bilangan tersebut.

Contoh Soal Mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil atau KPK dan Faktor Persekutuan Terbesar atau FPB

Agar semakin jelas pemahaman kita tentang kelipatan persekutuan terkecil atau KPK dan faktor persekutuan terbesar atau FPB, mari kita perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal KPK dan FPB 1 (cara sederhana):
Carilah kelipatan persekutuan terkecil atau KPK dan faktor persekutuan terbesar atau FPB dari bilangan 12 dan 20?

Cara Mencari KPK soal 1:
Pada soal diatas, bilangan 12 dan 20 termasuk bilangan yang tidak terlalu besar, sehingga kita bisa menggunakan cara sederhana untuk mencari KPK dari dua bilangan tersebut. Perlu diingat, kata kunci untuk mencari KPK yaitu ada pada kepanjangan dari KPK sendiri yang berarti "kelipatan" yang pertama kita cari, kemudian "persekutuan" yang berarti "bilangan yang sama" dan kata "terkecil".

Sehingga untuk mencarinya bisa dituliskan seperti berikut:
Kelipatan dari bilangan 12 adalah = 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120,.....
Kelipatan dari bilangan 20 adalah = 20, 40, 60, 80, 100, 120,....

Dari hasil kelipatan diatas, bisa kita lihat KPK dari bilangan 12 dan 20 adalah bilngan 60 (yang diberi tanda tebal). Mengapa bilangan 60 yang menjadi KPK, bukan bilangan 120?

Perlu diingan kembali kepanjangan KPK adalah kelipatan persekutuan terkecil yang berarti kita mencari persekutuan (bilangan yang sama) terkecil dari kelipatannya sehingga KPK dari 12 dan 20 adalah 60 dan bukan 120.

Dari hasil diatas, bisa dikatakan bahwa tidak ada bilangan yang lebih kecil dari 60 yang dapat dibagi habis oleh 12 dan 20. Atau bisa dikatakan juga bahwa 60 merupakan bilangan terkecil yang bisa dibagi habis oleh 12 dan 20.

Cara Mencari FPB soal 1:
Seperti mencari KPK diatas, bilangan 12 dan 20 termasuk bilangan yang tidak terlalu besar sehingga bisa kita cari faktor persekutuan terbesar atau FPB dengan cara sederhana.

Langkah pertama yaitu kita membuat dulu faktor dari 12 dan 20. Perlu diingat jika pada KPK yang kita tulis adalah kelipatannya sedangkan pada FPB ini yang kita tulis adalah faktor dari 12 dan 20.

Faktor disini merupakan bilangan yang dikalikan maka menghasilkan bilangan yang dicari faktorialnya. Misalnya kita akan mencari faktor dari bilangan 12, maka yang kita tulis adalah bilangan-bilangan bulat positif yang jika dikalikan menghasilkan angka 12, yaitu:

12 = 1 x 12
12 = 2 x 6
12 = 3 x 4

Begitu juga dengan bilangan 20 yang kita cari adalah bilangan bulat yang jika dikalikan akan menghasilkan angka 20, yaitu:

20 = 1 x 20
20 = 2 x 10
20 = 4 x 5

Sehingga bilangan-bilangan tersebut bisa kita susun faktornya seperti berikut ini:

Faktor dari bilangan 12 adalah = 1, 2, 3, 4, 6, dan 12
Faktor dari bilangan 20 adalah = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20

Dari faktor bilangan 12 dan 20 diatas maka didapatkan faktor persekutuan terbesar atau FPB-nya adalah 4. Mengapa 4 dan bukan 1? Perlu diingat arti FPB yaitu faktor persekutuan (bilangan yang sama) terbesar, sehingga 4 adalah FPB dari bilangan 12 dan 20, bukan 1.

Bisa dikatakan juga bahwa 4 adalah bilangan terbesar yang bisa membagi habis bilangan 12 dan 20, atau tidak ada lagi bilangan yang lebih besar atau diatas 4 yang bisa membagi bilangan 12 dan 20.

Contoh Soal KPK dan FPB 2 (cara faktorial):
Carilah kelipatan persekutuan terkecil atau KPK faktor persekutuan terbesar atau FPB dari bilangan 147, 189 dan bilangan 231?

Pada contoh soal kedua ini, bilangan yang akan dicari KPK dan FPB-nya termasuk dalam bilangan yang cukup besar (diatas 100). Sehingga kita tidak bisa mencarinya dengan cara sederhana seperti langkah-langkah pada contoh soal pertama.

Untuk mencari KPK dan FPB yang termasuk bilangan besar (diatas 100) maka kita bisa menggunakan pohon faktor matematika atau yang disebut denga cara faktorial.

Langkah pertama yaitu kita membuat pohon faktor dari bilangan 147, 189 dan 231 seperti berikut ini:

Tentu kalian masih ingat dengan cara membuat pohon faktorial dalam matematika pada postingan plengdut.com sebelumnya bukan? Bilangan yang berada paling puncak adalah bilangan yang akan kita buat faktorialnya, sedangkan yang di kiri bawah adalah pembagi yang bisa membagi habis bilangan puncak, sedangkan yang berada di kanan bawah adalah hasil pembagiannya.

Dari pohon faktor yang sudah kita buat diatas tadi, maka kita bisa menyusun faktorial dari pohon faktor tadi seperti berikut:

Faktorial dari bilangan 147 adalah = 3¹ x 7²
Faktorial dari bilangan 189 adalah = 3³ x 7¹
Faktorial dari bilangan 231 adalah = 3¹ x 7¹ x 11¹

Cara mencari KPK soal 2:
Langkah selanjutnya untuk mencari KPK dari pohon faktorial yaitu ambil faktor-faktor yang memiliki pangkat terbesar dari faktorial masing-masing bilangan, yang berarti adalah 7², 3³ dan 11¹.

Selanjutnya yaitu kita kalikan faktor-faktor tersebut:
3³ x 7² x 11¹ = 14553

Sehingga hasilnya 14553 merupakan kelipatan persekutuan terkecil atau KPK dari bilangan 147, 189 dan 231. Atau bisa dikatakan juga bahwa tidak ada bilangan dibawah atau lebih kecil dari 14553 yang bisa dibagi habis oleh bilangan 189, 147 dan 231.

Cara mencari FPB soal 2:
Untuk mencari FPB, caranya kita tinggal mengambil faktor-faktor yang sama (sekutu) dari ketiga bilangan yang sudah kita buat pohon faktorialnya dengan pangkat terkecil diatas, yaitu 3 dan 7 dengan pangkat terkecil yaitu 1 (lihat faktorial masing-masing bilangan dari 147, 189 dan 231 diatas)

Kemudian faktor-faktor sekutu dengan pangkat terkecil tadi kita kalikan sehingga menjadi:
3¹ x 7¹ = 21

Sehingga faktor persekutuan terbesar atau FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 21. Atau bisa dikatakan bahwa tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang bisa membagi habis ketiga bilangan 147, 189 dan 231.

Cukup mudah bukan mempelajari KPK dan FPB ini? Jika masih bingung atau ada yang ingin ditanyakan, silahkan langsung berkomentar pada kolom komentar berikut ini.